Нужно найти синус и косинус угла альфа, при значениях в градусах 300; 315; 330; 360

sin(300)= -sqrt(3)/2    cos(300)=1/2

sin(315)=-sqrt(2)/2     cos(315)=sqrt(2)/2

sin(330)=-1/2             cos(330)=sqrt(3)/2

sin(360)=0                  cos(360)=1

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinx\vee a,

cosx\vee a,

tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.
Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов \frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2}, – левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки \frac{5\pi}{3} указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac{\pi}{3}+2\pi n
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.
Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2} – правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.
Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2}, – выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.

67

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.
Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

л

\frac{\pi}{2}+2\pi n
или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.
Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx – [-1;1].

78н

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 6.
Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.

Решение:

Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

89

\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n
Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Если я все верно понял и разобрал твой пример, то:
№1
((3x-4/x+1 - 2x-5/x+1 + x/x+1 )/(x/x^2-1))   = 
Делю пополам уравнения и по действиям, думаю, что вы поймете.
Начну с конца.
(x/x^2-1) = ((x+1)(x-1)/x)  \\ Умножим числитель на величину, обратную знаменателю x/x^2-1
((3x-4-(2x-5))/x+1) + x/x+1)) = (1+x/x+1) \\ Поделили на две части уравнения, и пришло время - Объединить пример.
(1+x/x+1) * ((x+1)(x-1))/x) \\ В данном уравнении, первую дробь Умножаем на знаменатель и получаем вывод: 
(1(x+1)/1(x+1) + x/x+1) 
((2x+1)(x+1) * ((x+1)(x-1)/x) =((2x+1)/1)((x-1)/x) =(2x+1)(x-1)/x
ответ на первый пример: (2x+1)(x-1)/x

№2

Не особо понял мысль твоего уравнения, в следующий раз, будьте добры, отправлять фотографию примера, иногда бывает, что за готовое решение ставят жалобу и человек, который решал дают страйк!

(a - a^2-3/a-2): 3-2a/4-4a+a^2 =
Так же как и в первом случае, начну с конца!
Переворачиваем дробь :
((4-4a+a^2)/3-2a) = ((2-a)^2)/(3-2a) \\ Получили по формуле квадратного уравнения!
Вернемся к первой части, домножаем уравнение на (a-2)
(a(a-2)/(a-2) - (a^2-3)/(a-2)) * (((2-a)^2)/(3-2a));
=>Скомбинируем уравнение и получаем:
((-2a+3/a-2))/((2-a)^2/(3-2a)) = 
Упростим числитель и его члены
=> )(2-a)^2/(a-2) =>
(a-2)(a-2)/(a-2)*1 = > a-2
ответ: a-2