Вправильной четырехугольной пирамиде мавсд боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов . найти: 1) s боковой поверхности 2) v пирамиды 3) угол между противоположными боковыми
гранями 4) v описанного около пирамиды шара 5) угол между боковым ребром ам и плоскостью дмс

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Основание данной пирамиды - квадрат. 

Её высота МО- катет, противолежащий углу 60º в прямоугольного треугольника с гипотенузой 8 см.

МО=МВ•sin60º=4√3

 ОВ противолежит углу 30º

ОВ= МВ•sin30º=4 см

ОВ- половина диагонали квадрата АВСД

ОВ=ОА. 

Стороны основания равны АВ=ВО:sin 45º=4√2

Апофема МН по т.Пифагора из ∆ МНВ

МН=√(МС²-НВ²)=√56

 

1) 

Площадь боковой поверхности

S(бок)=4•МН•HВ=4•2•√112=32√7 см²

2) 

Объем пирамиды:

V=S•H:3

S (осн)=АВ² =(4√2)² =32 см² 

V=(32•4√3):3=128:√3 см³ 

3) 

Угол между противоположными боковыми гранями - это двугранный угол между плоскостями, содержащими эти грани. 

Он измеряется величиной угла, образованного прямыми, по которым грани пересекаются перпендикулярной им плоскостью КМН  т.е. величине угла между МК и МН

Величину∠КМН  можно найти по т.косинусов,  по формуле приведения двойного  угла  или  из отношения высоты НР треугольника КМН к апофеме МН. ( длина НР пригодится и дальше). 

НР=2S∆ КМН:МК

2S ∆ КМН=МО•КН=4√3•4√2=16√6

НР=16√6:√56=(8√21):7

sin ∠НМР=(8√21):(7•√56)=(√24):7≈ 0,699854....

Это синус угла ≈ 44,4º  или 44º24

4) 

Объем описанного около пирамиды шара 

Около данной пирамиды можно описать шар, так как  около ее основания - квадрата - можно описать окружность (свойство описанного шара).  

Центр его лежит в точке пересечения высот (срединных перпендикуляров) правильного ∆ ВМД

V=4πR³:3

Радиус описанного шара равен радиусу описанной вокруг правильного ∆ ДМВ  окружности. (углы при ДВ=60º)

2R=МВ:sin60º

R=8/√3

V=π•4•(8/√3)³:3

V=π•2048/3•3√3=π•(2048√3):27= 131,379π или при π=3,14 ≈  412,74

5) 

угол между боковым ребром АМ и плоскостью ДМС

На рисунке пирамида для наглядности «уложена» на боковую грань ДМС. 

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Проекция АМ на плоскость ДМС - это отрезок, который соединяет т.М с основание перпендикуляра из т.А на данную плоскость. 

АВ || СД. ⇒АВ  параллельна плоскости ДМС,⇒

все точки АВ находятся на равном расстоянии от  плоскости ДМС,

Искомый угол -∠ АМТ 

  Перпендикуляр АТ из точки  А наклонной АМ на  плоскость ДМС  параллелен и равен перпендикуляру из любой другой точки  АВ на ту же плоскость. ⇒

АТ=НР=(8√21):7 

sin∠ АМТ=АТ:АМ={(8√21):7}:8=(√21):7≈0,65465...

∠ АМТ= ≈40º54’ ≈ 41º

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат.Найдем значения элементов пирамиды. Из прямоугольного треугольника АМО имеем: <MAO=60° (дано), тогда <AMO=30° и катет АО(половина диагонали основания) = 4, а катет МО (высота пирамиды) по Пифагору равна МО=√(АМ²-АО²)=√(64-16)=√48=4√3.
Сторона основания равна из теоремы Пифагора а=4√2 (так как диагональ квадрата равна 8). Апофема грани найдется по Пифагору из прямоугольного треугольника НОМ, где она является гипотенузой, а катеты равны НО=2√2 (половина стороны) и ОМ=4√3.
НМ=√(НО²+ОМ²)=√(8+48)=√56=2√14.
Итак, боковое ребро пирамиды 8см, сторона пирамиды АВ=ВС=СD=DA=4√2см, высота МО=4√3см, апофема МН=2√14см.
Тогда: 1). Sбок=Sграни*4=(1/2)*МН*АВ*4 или Sбок=(1/2)*2√14*4√2*4=32√7см².
2) Vпир=(1/3)*So*h или Vпир=(1/3)*АВ²*МО или Vпир=(1/3)*32*4√3=128√3/3см³.
3) Угол между противоположными гранями - это угол между противоположными апофемами (по определению угла между плоскостями) или угол при вершине равнобедренного треугольника НМР, высота которого МО является и биссектрисой.
То есть Sin(α/2)=HO/MH или Sin(α/2)=2√2/2√14=√(1/7). Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) (по формуле приведения). Но Cos(α/2)=√(1-Sin²(α/2))=√(6/7).
Тогда Sinα=2√(1/7)*√(6/7)=2√6/7≈0,6998. То есть угол равен arcSin0,7 или 44,4°.
Этот угол проще можно найти по теореме косинусов.
Cosα=(b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c). В нашем случае Cosα=(2МН²-а²)/2МН² или Cosα=(112-32)/112=0,714. угол равен arcCos0,714 или 44,4°.
ответ: угол равен arcCos0,714 или 44,4°.
4) Все вершины нашей пирамиды лежат на поверхности описанной около нее сферы. Значит радиус этой сферы находится в точке О1 пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру (так как центром описанной окружности является точка  пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника).
Рассмотрим треугольник О1КМ, где точка К - середина ребра МD.
Это прямоугольный треугольник с гипотенузой О1D и углом КМО1=DМО=30° (показано выше). Пусть О1К=х. Тогда О1М=2х и по Пифагору О1М²=О1К²+МК² или 3х²=(8/2)², откуда х=4/√3, а МО1=2х=8/√3=8√3/3.
Но МО1 - это радиус описанного вокруг пирамиды шара. Значит Vш=(4/3)πR³ или  Vш=(4/3)π(8√3/3)³ или
Vш=(4/3)π(8³*3√3/3³)=π*2048√3/27=π*131,379≈412,53см³.
5) Угол между боковым ребром АМ и плоскостью DМС - это угол между плоскостью и наклонной к этой плосеости. А это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.
Проведем в плоскости DMC прямую TL параллельно CD. Опустим перпендикуляр из точки А на плоскость DMC. Этот перпендикуляр - отрезок АL, параллельный и равный высоте НТ.
Проекцией ребра АМ на плоскости DMC является расстояние от точки М до основания перпендикуляра (L), опущенного на плоскость DMC из точки А. Этот перпендикуляр (AL) равен перпендикуляру НТ из точки Н на апофему МР, так как прямая АВ параллельна DC, а значит параллельна плоскости DMC.
В прямоугольном треугольнике НМТ: sin(НМТ)=2√6/7 (найден выше).
Тогда НТ=НМ*Sin(НМТ) или НТ=(2√14*2√6)/7=(4√84)/7=(8√21)/7.
Синус угла между АМ и плоскостью равен НТ/АМ=(8√21)/7/8=√21/7=0,655.
ответ: угол равен arcsin0,655 или ≈41°.