.(Длина ребра куба авсда1в1с1д1 равна 4 см. вычислите длину радиуса окружности, вписаной в треугольник да1с1).

Если реро куба равна 4 то стороны равностороннего треугольника DA1C1 равны 4 под корнем 2. В равностороннем треугольнике a=2r*3^1/2

r=a/[2*3^1/2]=[2*6^1/2]/3

если из точки В опустить перпендикуляр на диагональ АВ1 то это и будет искомое расстояние назовем его ВН. очевидно что ВН это половина диагонали квадрата ВВ1А1А . вся диагональ по тю пифагора равна корню из 2. а ВН равна половине корня из 2.

При построенние соедините  указанный треугольник АВ1С наглядно видно что его сторонами являются диагонали граней(квадратов) и он равносторонний (правильны),

найдем по  теореме пифагора длинну одной стороны AB1=6*(2^(1/2))- шесть корней из 2. По формуле радиуса вычисляем r=(1/3^(1/2))*6*(2^(1/2))=2*(6^1/2)-два корня из шести

ответ: два корня из шести 2*(6^1/2)

Скалярное проиведение векторов : , где α угол между векторами.

а)

В прямоугольном ΔAA₁B₁:

AB₁ - гипотенуза;

ответ: 4.

б)

AB₁⊥BA₁ как диагонали квадрата, поэтому все углы при пересечении равны 90°, а значит угол между векторами 90°.

ответ: 0.

Ав1 является диагональю одной из сторон куба. Расстояние от середины диагонали до грани куба равно половине длины стороны куба. Нарисовав чертёж к задаче, мы увидим, что искомое расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, стороны которого равны половине длины стороны куба.

Всё решаем по формулам.

Проще всего оказалось решить эту задачу методом треугольников по Герону.
По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1).
Координаты точки А:   ax     ay      az
                                          1      0        0.
Координаты точки К:    bx     by     bz
                                          0     0.5     0.
Координаты точки С2:  cx   cy     cz
                                          0     1      0.3333.
Находим длины сторон:     АК                   КС2               АС2
                                        1.118034      0.6009252       1.45297.
Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении.
Отсюда находим площадь треугольника АКС2:
Периметр равен Р = 3.1719255,
полупериметр равен Р/2 = 1.58596.
S AKC2= 0.3118048.
Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2:
Координаты точки А:   ax     ay      az 
                                          1      0        0.
Координаты точки С2:  cx      cy        cz 
                                          0        1      0.3333.
Координаты точки Д2:  cx      cy       cz
                                           1       1      0.6667.
Длины сторон равны:  АС2               С2Д2                АД2
                                 1.4529663       1.0540926         1.20185.
Периметр равен Р =  3.7089093,
полупериметр равен Р/2 = 1.85445.
S AС2Д2 = 0.6236096.
Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения:
S AКС2Д2= 0.3118048 + 0.6236096 =  0.935414364а².

Раз не отвечаешь сколько там площадь сечения, тогда сама подставишь в итоговую формулу