.(Доведыть що трикутник авс є рівнобедренним, якщо а(-3; 3),в(6; 6),с(3; -3)).

Доведыть що трикутник АВС є рівнобедренним,якщо А(-3;3),В(6;6),С(3;-3)

Данные треугольники имеют две пары равных углов ∡1 и ∡2, ∡3 и ∡4, каждый из которых прилежит к общей стороне АС треугольников. Значит, данные треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла).

У данных треугольников две пары равных сторон DC=AD и АВ=ВС. Также треугольники имеют общую сторону ВD, из чего делаем вывод: треугольники равны по третьему признаку (три стороны).

Указанные треугольники имеют равные стороны ОD=ОС и АО=ВО. Также имеем пару вертикальных углов ∡DOА и ∡ВОС. Они равны по своему свойству. Значит, треугольники равны по первому признаку (две стороны и угол между ними).

Из условия мы знаем, что АВ=АС (...отложены равные отрезки...) и ∡ВАD=∡CFD (биссектриса). Также АD - общая сторона. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Обратим внимание на то, что речь идет о противоположных углах, а не об углах, прилежащих к одной боковой стороне трапеции. Основания трапеции параллельны, каждая боковая сторона при них - секущая. Поэтому сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°, так как они внутренние односторонние при пересечении параллельных прямых секущей. 

Обозначим трапецию АВСД. По условию ∠А:∠С=1:2

∠Д:∠В=7:8 

Примем угол А=а, тогда угол С=2а.

Примем угол Д=7b, тогда угол В=8b

a+8b=180° 

2a+7b=180° 

Приравняем левые части уравнений:

а+8b=2a+7b⇒

b=a

Подставим в первое уравнение вместо b – а, т.к. они равны. 

Тогда а+8а=180°⇒

а=20° и b=20°. 

Следовательно, ∠ВАД=20°, ∠АВС=8•20°=160°;

∠ВСД=2•20=40°; ∠СДА=7•20=140°.